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Teorema de Taylor

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: Є (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si $\ n$ ≥ 0 es un entero y $\ f$ una función que es derivable $\ n$ veces en el intervalo cerrado [ $\ a$ , $\ x$ ] y $\ n$ +1 veces en el intervalo abierto ( $\ a$ , $\ x$ ), entonces se cumple que:

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(f)$

O en forma compacta

$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + R_n(f)$

Donde $\ k!$ denota el factorial de $\ k$ , y $R_n(f)\,$ es el resto, término que depende de $\ x$ y es pequeño si $\ x$ está próximo al punto $\ a$ . Existen dos expresiones para $\ R$ que se mencionan a continuación:

$R_n(f) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

donde $\ a$ y $\ x$ , pertenecen a los números reales, $\ n$ a los enteros y $\ \xi$ es un número real entre $\ a$ y $\ x$ :

$R_n(f) = \int_a^x \frac{f^{(n+1)} (t)}{n!} (x - t)^n \, dt$

Si $R_n(f)\,$ es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
Para algunas funciones $\ f(x)$ , se puede probar que el resto, $\ R_n(f)$ , se aproxima a cero cuando $\ n$ se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto $\ a$ y son denominadas funciones analíticas.
El teorema de Taylor con $\ R_n(f)$ expresado de la segunda forma es también válido si la función $\ f$ tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la derivación y la integración son operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función original. Una consecuencia importante, en ocasiones denominada el segundo teorema fundamental del cálculo, permite calcular integrales a base de emplear una primitiva de la función a integrar.

Enunciado de los teoremas

Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si se define F para cada x de [a, b] por

$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt.$

entonces F es continua en [a, b]. Si f es continua en x de [a, b], entonces F es derivable en x, y F ′(x) = f(x).

Segundo teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real, integrable definida en un intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es una primitiva de f), entonces

$\int_a^b f(t)\, dt = F(b) - F(a).$

Corolario. Si f es una función continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b], y F, definida por

$F(x) = \int_a^b f(x) \, dx$

es una primitiva de f en [a, b]. Además,

$\int_a^b f(x) \, dt = F(b) - F(a).$

Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
El estudio del cambio de una función es de especial interés para el cálculo diferencial, en concreto el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de $f(x)$ en cada punto $x$ . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

miércoles, 18 de diciembre de 2013

Teorema de Taylor

Teorema fundamental del cálculo

Enunciado de los teoremas

Cálculo diferencial